第1单元 倍数与因数例1：小林和小军都到图书馆去借书，小林每6天去一次，小军每8天去一次，如果7月1日他们两人在图书馆相遇，那么下一次都到图书馆是几月几日？分析：此题主要考查求两个数的最小公倍数的方法：两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数；数字大的可以用短除解答，由题意可知：要求下一次都到图书馆是几月几日，先求出6和8的最小公倍，因为6和8的最小公倍数是24，即7月1日再经24天两人都到图书馆，此题可解。解答：623，8222，6与8的最小公倍数是22324，即再经24天两人都到图书馆，7月1日+24日7月25日；答：下一次都到图书馆是7月25日。例2：能不能将从1到9的各数排成一行，使得任意相邻的两个数之和都能被3整除？分析：首先根据是3的倍数的数各个位上的数相加所得的和能被3整除，可得1、2；1、5；1、8；2、4；2、7；3、6；3、9；4、5；4、8；5、7；6、9；7、8的和都能被3整除；然后根据3、6、9不能和其它的数组合，使得它们的和能被3整除，所以不管怎么排，排3、6、9总有一个数要和不是3的倍数相邻，所以不能将从1到9的各数排成一行，使得任意相邻的两个数之和都能被3整除，据此判断即可。解答：1、2；1、5；1、8；2、4；2、7；3、6；3、9；4、5；4、8；5、7；6、9；7、8的和都能被3整除，但是3、6、9不能和其它的数组合，使得它们的和能被3整除，所以不管怎么排，排3、6、9总有一个数要和不是3的倍数相邻，所以不能将从1到9的各数排成一行，使得任意相邻的两个数之和都能被3整除。例3：菲菲家的电话号码是一个八位数，记为：ABCDEFGH已知：A是最小的质数，B是最小的合数，C既不是质数也不是合数，D是比最小的质数小2的数，E是10以内最大的合数，F只有因数1和5，G是8的最大因数，H是6的最小倍数。分析：我们知道菲菲家的电话号码是一个八位数，记为：ABCDEFGH已知：A是最小的质数，B是最小的合数，C既不是质数也不是合数，D是比最小的质数小2的数，E是10以内最大的合数，F只有因数1和5，G是8的最大因数，H是6的最小倍数。解答：由分析可知：A是2，B是4，C是1，D是0，E是9，F是5，G是8，H是6，所以这个数是：24109586。 例4：猜猜看小侦探柯楠在侦破一个案件的时候，发现与案件有关的一个保险箱设有一个六位数的密码是：他又发现主人为了防备忘记密码在自己的日记本中做了如下的提示，A是5的最大因数，B的所有因数是1，2，4，8，C是最小的自然数D只有一个因数，E既是质数，又是偶数，F既是9的因数又是9的倍数。你能帮助小侦探找到密码打开这个保险箱吗？并说明你推理的理由是什么？分析：根据题意可知：A是5的最大因数，因为5的最大因数是5，所以A是5；B的所有因数是1，2，4，8，根据一个数最大的因数是它本身，可知B是8；C是最小的自然数，最小的自然数是0，所以C是0；D只有一个因数，是1；E既是质数，又是偶数，所以E是2；F既是9的因数又是9的倍数，所以F是9；由此即可写出即可。解答：由分析可知：A是5，B是8，C是0，D是1，E是2，F是9，所以这个六位数的密码是：580129。例5：已知a，b，c都是正整数，a，b，c的最大公约数为24，a，b的最小公倍数是360；a，c的最小公倍数是144。（1）求b的最小值。（2）若b，c的最小公倍数为240，求a，b，c的值。分析：3602453，1442423，因为a，b，c的最大公约数为24，a，b的最小公倍数是360，a，c的最小公倍数是144，当a取最大时，b最小，a最大为：24372，所以b245120；若b，c的最小公倍数为240，因为：2402425，b120，所以c24248，进而得出a72；据此解答。解答：3602453，1442423，因为a，b，c的最大公约数为24，当a取最大时，b最小，a最大为：24372，所以b245120；若b，c的最小公倍数为240，因为：2402425，3602453，所以b120，a24372，c24248。例6：一盒棋子共有96个，如果不一次拿出，也不一粒一粒地拿出，但每次拿出的粒数要相同，最后一次正好拿完共有几种拿法？分析：本题可以先把实际问题转化成数学问题，正好拿完，就没有余数，每次拿的个数就是96的因数，再根据求因数的方法即可解决问题。解答：96222223，那么96的因数可以表示为：96196248332616424812，共有12个因数，不一次拿出，也不一个个地拿，所以96和1这对因数不要；共有10种拿法。答：共有10种拿法。例7：用长4厘米、宽3厘米的长方形，照如图的样子拼成正方形拼成的正方形的边长最小是多少厘米？（先在图中画一画再解答）分析：此题主要考查了求两个数的最大公因数：是互质数的两个数，它们的最大公约数是1，最小公倍数即这两个数的乘积。求拼成的正方形的边长最小是多少厘米，即求3和4的最小公倍数，因为3和4是互质数，是互质数的两个数，它们的最大公约数是1，最小公倍数即这两个数的乘积；据此解答即可。解答：4312，即拼成的正方形的边长是12厘米；答：拼成的正方形的边长是12厘米。例8：一条72米长的路，原来从一端起，每隔9米有一盏路灯。现在重新安装，要从一端起每隔6米装一盏为节省施工成本，有些位置的路灯是不需要重新安装的不需要重新安装的路灯至少有多少盏？（先画一画，再解答）分析：根据题意可知：不需要重新安装的是9米与6米的公倍数的路灯，即18米倍数的路灯不移动，也就是求出每隔18米路灯的盏数，加上开头的那一盏即可。解答：如图所示：9与6的最小公倍数是18；7218+14+15（盏）答：不需要重新安装的路灯至少有5盏