第5单元 方程例1：我校“阳光体育运动”已经正式启动，学校准备为同学们购买跳绳120根，若每条跳绳x元（1）学校拿去1000元，应找回多少元？（用含有字母的式子表示出来）（2）若x7，计算一下应找回多少元？分析：做这类用字母表示数的题目时，解题关键是根据已知条件，把未知的数当做已知的数，用字母正确的表示出来，然后根据题意列式计算即可得解。（1）根据单价数量总价，求出购买跳绳120根所花费的钱数，再付出的钱数-花费的钱数找回的钱数，求出应找回的钱数；（2）把x7代入（1）中求出的含x的式子，解答即可解答：（1）1000-120x（2）把x7代入1000-120x中，得1000-120x1000-12071000-840160（元）答：学校拿去1000元，应找回1000-120x元；若x7，应找回160元例2：方程和等式之间存在着密切的关系，你能用图示的方法表示它们之间的联系和区别吗？分析：此题考查方程与等式的意义及关系：等式包含方程，方程是等式的一部分。等式是指用“”号连接的式子；方程是指含有未知数的等式，据此可知等式包含方程，方程只是等式的一部分。解答：根据等式和方程的意义，可知等式包含方程，方程只是等式的一部分，它们之间的关系如下图：例3：买鞋的学问：如果鞋子是a码，也就是b厘米，它们有这样的关系：a2b-10小明要穿40码的鞋子，也就是要穿（）厘米的鞋子A35B30C25D15分析：可以把a40代入a2b-10，再依据等式的性质，方程两边同时加10，最后同时除以2求解解答：把a40代入a2b-10，可得：402b-10，40+102b-10+10，5022b2，b25所以答案选：C例4：已知x3是关于x的方程3x-2a1的解，那么a的值是（）A1B4C5D8分析：首先根据x3是关于x的方程3x-2a1，可得33-2a1；然后根据等式的性质，两边同时加上2a，两边再同时减去1，最后两边再同时除以2即可解答：因为x3是关于x的方程3x-2a1，所以33-2a1，9-2a19-2a+2a1+2a2a+192a+1-19-12a82a282a4所以a的值是4所以选：B例5：看图列方程并解答分析：根据题意知本题的数量关系：黄花的朵数+红花朵数一共的朵数，据此数量关系可列方程解答解答：设黄花有x朵，则红花有4x朵x+4x455x455x5455x94936（朵）答：黄花有9朵，红花有36朵例6：某校学生举行春游，若租用45座客车，则有15人没有座位；若租用同样数目的60座客车，则一辆客车空车，其余车刚好座满已知45座客车租金220元，60座客车租金300元，问：（1）这个学校一共有学生多少人？（2）怎样租车最经济合算？请说明理由并计算出相应租金是多少？分析：（1）假设租用45座客车x辆，余15人没有座位，若租用60座客车x-1辆就刚好满座；由此列出等式45x+1560（x-1），解方程，x5，即可求出学生数45x+15人240人；（2）45座客车每人：220454.9元，60座客车每人：300605元，所以多租用45座合算，但是余下的15人若占用一辆，空座太多，是浪费，若用4辆45座客车，一辆60座客车，454+60240人，都是满座且刚好都有座需要租金是2204+3001180元比较以上两种租车方法租金大小，最小的最经济合算解答：（1）假设租用45座客车x辆，余15人没有座位，若租用60座客车x-1辆就刚好满座，则有，45x+1560（x-1）15x75x5455+15240（人）答：这个学校一共有学生240人。（2）若租用45座客车5+16辆，需要租金：22061320（元）；若租用60座客车5辆，需要租金：30051500（元）；若租用4辆45座客车1辆60座客车，需要租金2204+3001180元；答：租用4辆45座客车和1辆60座客车最经济合算因为这样需要的租金是1180元，小于其他租车的租金1320元和1500元例7：舅舅44岁，他的四个外甥分别是14岁、12岁、4岁及2岁问几年后舅舅的年龄等于四个外甥年龄的总和？分析：解答此题要明确：每过一年，每个人都增加1岁根据题意可设x年后舅舅的年龄等于四个外甥年龄的总和，则x年后舅舅的年龄是44+x岁，四个外甥年龄的总和是14+12+4+2+4x岁，根据“x年后舅舅的年龄等于四个外甥年龄的总和”列出方程求解即可解答：x年后舅舅的年龄等于四个外甥年龄的总和，14+12+4+2+4x44+x32+4x44+x3x12x4答：4年后舅舅的年龄等于四个外甥年龄的总和例8：甲乙两个粮仓存粮数相等，从甲粮仓运出150吨，从乙粮仓运出250吨，甲粮仓剩粮是乙粮仓剩粮的3倍原来每个粮仓各存粮多少吨？分析：此题用方程解，重在根据第一个等量关系设未知数甲为x，另一个知数乙也是x。首先设甲粮仓原有x吨存粮，因为“甲、乙两个粮仓存粮数相等”，所以乙也有x吨存粮，因为“甲仓运出150吨、从乙仓运出250吨后，甲粮仓剩粮是乙粮仓剩粮的3倍”，根据此等量列方程求解解答：设甲原有x吨存粮，可得方程：x-150（x-250）3x-1503x-7502x600x300因为甲、乙两个粮仓存粮数相等，所以乙也有300吨答：甲原有300吨存粮，乙原有300吨存粮例9：如图，这是一些棋子摆成的正三角形点阵，和“空心方阵”类似，也可以有“空心三角阵”（1）如果有一个5层的空心三角阵，最外层每边有20个棋子，那么一共有多少枚棋子？（2）如果一个空心三角阵共有294枚棋子，那么它最多有多少层？（3）如果一个空心三角阵共有294枚棋子，不止一层，那么它的最外层最多有多少枚棋子？分析：本题考查了三角阵问题和等差数列问题的综合应用，关键是理解空心三角阵相邻两层的点数相差9个。（1）根据空心三角阵的特点可知，相邻两层的点数相差9个，然后根据每层点的个数每边的个数3-3代入数据求出最外层的点数，然后根据等差数列解答即可；（2）最里层的个数6开始，要使一个空心三角阵的层数最多，要从里面第二层6+915个计数，设一共有n层，公差为9，然后根据等差数列解答即可；（3）要使它的最外层最多，必须层数最少，因为294是偶数，所以从外向内依次减少的总枚数必须是偶数，即9、9+9227、9+92+9354，其中最少的是54，所以共有4层时，它的最外层最多；然后再进一步解答即可解答：（1）203-357（枚）57-9（5-1）21（枚）（57+21）527852195（枚）答：一共有195枚棋子（2）设一共有n层，15n+n（n-1）922943n2+7n-1960解得：n7答：它最多有7层（3）因为294是偶数，所以从外向内依次减少的总枚数必须是偶数，即9、9+9227、9+92+9354，其中最少的是54，所以共有4层时，它的最外层最多；所以最外层最多有：（294+54）487（枚）答：它的最外层最多有87枚棋子