1.3 合数、质数 u 教学内容教材第911页的认识质数和合数，分解质因数，课堂活动和练习三的内容。u 教材提示本节课是在学生学会了因数和倍数，并掌握了2、3和5的倍数特征基础上展开教学。本节课的知识点有三：知识点一：按一个数所含因数的多少把自然数进行分类。知识点二：认识质数和合数。知识点三：把一个合数写成几个质数连乘积的形式。按教材的编排特点，在教学时，首先要让学生找因数，通过因数的个数进行分类，从而认识并理解质数和合数的意义。接着通过让学生把一个合数，运用短除法来分解成几个质数连乘积的形式，完成分解质因数的教学。在教学中，要让学生在找因数和进行分类的基础上去揭示质数和合数的意义。这种通过探索而得到的知识更易于学生接受。还有在分解质数数时，一定要让学生联系2、3、5的倍数特征来找质因数。u 教学目标知识与技能：认识和理解质数、合数的意义，并能根据它们的意义正确地判断质数和合数。理解质因数的概念,，明确质数和合数的关系，会用短除法分解质因数。会把一个合数分解成几个质数连乘积的形式。 过程与方法：在解决问题的过程中，能进行有条理的思考，对收集的信息进行对比，归纳。情感、态度和价值观：在研究质数和合数的过程中丰富学生对数学的认识，感受数学文化的魅力，能主动地参与到数学学习中来。u 重点、难点重点理解和掌握质数、合数的意义，认识质因数的概念。难点会把一个合数分解成几个质数连乘积的形式。u 教学准备教师准备：课件。学生准备：草稿本。u 教学过程（一）新课导入：1.复习旧知。提问：怎样找一个数的所有因数？找出下面各数的所有因数，然后在小组内互相订正。4 13 24 372.揭示课题：如果把上面的数分成两类，你打算怎样分？（奇数和偶数）除了分成奇数和偶数外，还有另外一种分法，这就是我们这节课要学习的内容。板书课题：质数、合数设计意图：通过让学生在尝试解决问题的过程中，产生疑惑，从而提出问题，使学生对于这节课要学习的问题有更明确的把握。也更能激起学生的学习兴趣。（二）探究新知：1、找因数。（课件出示第9页例1）要求学生在草稿本上找出下面每个数的所有因数。（1） 学生先独立找每个数的因数，然后在小组内交流出每个数的所有因数。（2） 集体汇报，订正交流。学生的汇报结果，教师板书呈现：1的因数只有1；2的因数有1，2；4的因数有1，2，4；9的因数有1，3，9；11的因数有1，11；12的因数有1，2，3，4，6，12；15的因数有1，3，5，15；29的因数有1，29。组织学生观察这些数的因数的个数，再引导学生想一想，从中你发现了什么？。先组织学生在小组内交流。最后自由汇报。学生的汇报可能有：它们都有因数1，它们都有最大的因数，就是它本身。1只有一个因数。2，11，29它们的因数的个数是相同的，都只有2个因数。9除了1和它本身这两个因数外，还有一个因数3；15除了1和它本身外，还有一个因数31。12除以1和它本身这两个因数外，还有2，3，4，6这4个因数。教师引导学生总结出结论：一个数的因数的个数是有限的。有的只有一个因数，有的有两个因数，有的有三个或三个以上的因数。一个数最小的因数都是1。最大的因数是它们本身。2、 认识质数和合数。教师提出问题：如果要按一个数所含因数的个数，把上面的数分成3类的话，你认为可以怎样分？为什么？引导学生观察后，在小组内交流。最后汇报。学生可能的汇报：（1）只有1个因数的一组。（2）有2个因数分为一组。（3）有2个以上因数的分为一组。教师组织学生按前面的3种分类方法，把上面的数分成3组，并在黑板上板书。教师讲解：像2，11，29，只有1和它本身两个因数的数，叫做质数，又叫素数。像4，9，12，15，除了1和它本身外还有别有因数的数，叫做合数。而1只有一个因数，所以1既不是质数，也不是合数。引导学生看书，把书中的有关质数和合数的定义理解一遍，再读两遍。教师进一步引导：我们可以得出这样的结果。就是质数只有2个因数。合数至少有3个因数。那么，你们知道如何来判断一个数是质数，还是合数了呢？引导学生根据上面的总结回答出两点判断：（1）如果一个数有且只有2个因数，就是1和它本身，这个数就是质数。（2）如果这个数除了1和它本身这两个因数外，还有第3个因数，这个数就是合数。尝试练习，（课件出示第9页试一试）下面哪些是质数？哪些是合数？把它们分别填在相应的圈里。学生在草稿本上练习，再在小组内交流汇报。（质数有：3，5，7，13。合数有：6，10，25，72。）结合上面的例题，引导学生得出这样一个结论：如果按因数的个数的多少，我们可以把非零的自然数分为三类。质数，合数，还有就是1。3、 分解质因数。（课件出示第9页例2）要求学生把42写成质数相乘的形式。学生在本稿本上找一找。再总结找的方法。最后在小组内交流结果。学生的汇报：42可以写成2，3，7这三个质数连乘的形式。即42=237。方法有两种：一、分析法： 42=237二、短除法。（课件加板书演示）42=237教师讲解：把一个合数写成几个质数连乘积的形式。叫做分解质因数。分解质因数，我们一般用短除法，用质数去除。我们前面认识的2，3，5都是质数，而这些数的倍数特征是我们找质因数的依据。如42个位是2，一定有因数2。除以2后余21。而21的两个数位上数之各是3的倍数，所以一定有因数3。最后的结果是7，就是一个质数。尝试练习：（出示第10页试一试）下面我们用前面的方法来把8和30分解质因数。学生在草稿本上练习，再找几名学生汇报：8=222， 30=235设计意图：通过让学生用因数的个数进行分类，让学生先初步接触质数和合数，再结合后面质数和合数的定义来理解质数和合数，并会用2，3，5的倍数特征在短除法中分解质因数。（三）巩固新知：1、课件出示第10页课堂活动第1题 。要求学生在50以内的数中，先划去除2以外的倍数。再划去除3以外3的倍数，再划去除5，除7以外的倍数。学生在草稿本上练习。并在书中划一划。学生把质数都找出来后，再按从小到大的顺序写下来。最后汇报。学生汇报：质数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47。2、出示第10页练习三第2题。让学生先在草稿本上练习找质数。并想一想，怎样找质数？学生汇报：质数有3，17，83。因为这三个数只有1和它本身这两个因数。但剩下来的除了1外，全部都是合数。因为1既不是质数，也不是合数。（四）达标反馈习题;1.28的因数有（ ），这些数中，质数是（ ），合数是（ ）。2.两个质数的和是18，这两个数的积是77，它们两个质数分别是多少？3.写出20以内既是奇数，又是合数的数。4.一个长方形的长和宽均为质数，且周长是42厘米，这个长方形的面积是多少平方厘米？答案;1.1，28，2，14，4，7 2，7 4，14，282.11，73.9，154.长是19厘米，宽是2厘米。面积：38平方厘米（五）课堂小结今天，我们学习和掌握了哪些知识？引导学生总结：今天认识了质数和合数。知道“只有1和它本身两个因数的数，叫做质数。除了1和它本身外还有其它的因数的数，叫做合数。1既不是质数，也不是合数。”还学会了用短除法来分解质因数。设计意图：通过引导回顾所学的知识点，使学生对本节所学的知识形成一个体系，为后面的学习和记忆打下基础。（6） 布置作业1. 完成教材第11页练习三的第5题。在书中判断并连线。2. 完成教材第11页练习三的第6题。3. 下面各数哪些是质数？哪些是合数？25 33 50 97 121 49 83 4.在括号里填上适当的质数。7=（ ）+（ ） 24=（ ）+（ ）30=（ ）+（ ） 28=（ ）+（ ）5. 有两个质数，它们的和是18，它们的积是77。这两个数分别是几？答案：3. 质数：97，83 合数：25，33，50，121，494. 2，5 7，17 7，23 5，235. 这两个质数分别是：11，7u 板书设计3.合数、质数1的因数只有1； 2的因数有1，2； 4的因数有1，2，4；9的因数有1，3，9； 11的因数有1，11； 12的因数有1，2，3，4，6，12；15的因数有1，3，5，15；29的因数有1，29。 2，11，29 只有1和它本身两个因数的数，叫做质数。4，9，12，15 除了1和它本身外还有其它的因数的数，叫做合数。1 1既不是质数，也不是合数。42=237用短除法来分解质因数。u 教学反思数学课程标准中指出：“有效地数学学习活动不是单纯地依赖模仿和记忆，动手实践、自主探索和合作交流是学生学习数学的最重要方式。”在这一思想的引导下，本节课首先引导学生找出一个数的所有因数，并引导学生观察这些数的因数有什么不同，可以怎样分类。在学生自主探索，自觉地把这些数分成三类。在此基础上，引出质数、合数的概念，奠定了质数和合数的概念教学。在教学中，老师通过让学生作100以内的质数表，提高学生对知识的掌握水平。整个教学过程注重激发学生的求知欲望，重视发挥学生的主体作用，重视营造生动活泼的学习氛围，让学生在轻松活泼的气氛中完成自己的学习任务。在课堂教学中，教师最大限度地把时间和空间都留给学生，使每个学生都参仔细观察，认真思考，充分激发学生思维的主动性和积极性。同时也培养学生的分类、观察、分析、归纳和交流的数学能力，建立正确的分类思想。整个过程都是学生在动手操作、交流讨论、归纳概括，而教师只是在关键之处适当点拔，引导学生质疑、释疑、归纳。u 教学资料包（1） 教学精彩片段师生共同探究，分析问题并解决质数和合数的概念教学问题。师：一个数是质数还是合数，与它所含的因数的个数有关，根据你前面研究数的经验，你准备怎样研究今天的问题？生：我想写几个数，找出这些数的因数，看看这些数的因数有什么特点。师：你的办法准不错，大家准备研究哪些数？生A：我想研究一些小数，小数的因数好找。生B：老师，我们还要找一些大数，看看这些数是否也有这样的特点。师：下面我们用这种办法来研究220这几个数的因数。学生分组合作，展开讨论。生A：我发现2、3、5、7、11这五个数的因数有两个。生B：我知道这五个数的因数是1和它本身这两个因数。生C：我发现4、9的因数有三个，6、8、10的因数有四个，12的因数有六个。生D：我看出来了！这些数的因数个数不固定，有多有少，但不管有几个因数，都有1和它本身。师：这些数如果按照因数的个数来分，哪些数可以归为一类？学生分组合作，展开讨论。生A：我把这些数分成四类：一类有两个因数；一类有三个因数；一类有四个因数；一类有六个因数。生B：我不同意。如果按这种分法，那可以把数分成无数类。如果把有相同因数个数的分成一类，那数是无限的，它的因数个数也是无限的，数也自然可以分成无数类了。师：看来这种按一个数的因数个数来分确实不科学。大家想一想，这些数的因数有什么共同点呢？生：老师，我知道了！我们可以把这些数分成两类。因为不管它们的因数有多少个，都离不开1和它本身。可以把只有1和它本身两个因数的分为一类；把其余的分成一类。师：像这样，（指2、3、5、7）一个数如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫质数也叫素数。（出示定义）剩下的这一类数叫合数，你能说一说一个怎样的数叫做合数吗？学生小组交流，共同归纳。生A：我认为1是质数。质数的因数有1和它本身，1的本身也是1，我认为1还是质数。生B：我不同意，因为1的因数只有1个，而其它的质数的因数有两个。生C：我认为1不是质数，因为质数只有1和它本身两个因数。也就是说一个质数要有两个因数；而1的因数只有1个。师：1比较特殊，它既不是质数也不是合数，而大于1的数不是质数就是合数。设计意图： 让学生找因数，并按因数的个数对数进行分类，再分类的过程中产生矛盾，引导学生通过质疑解决矛盾。接着产生了1的分类矛盾后，又讨论解决矛盾。在不断的产生矛盾，解决矛盾的过程中，使学生顺利地掌握了质数和合数的概念。（二） 数学资源小明家的门牌号是一个三位数（不含0），并且满足条件：百位上的数字是10以内（不含10）的最大质数；十位上的数字既不是质数，也不是合数；个位上的数字是10以内的（不含10）既是质数又是偶数的数。聪明的你能猜出小明家的门牌号吗？答案： 712 （三）说课设计（1）教材分析教材的地位与作用：质数和合数是在学生已经掌握了因数和倍数的意义，了解了能被2，5，3整除的数的特征之后学习的又一重要内容，它是学生本节课后面要学习的分解质因数的基础，同时也是后面求最大公约数和最小公倍数的基础，在本章教学内容中起着承前启后的重要作用。（2）学情分析学生通过对因数和倍数以及能被2，5，3整除的数的学习，有了一定的认知基础，本节教学内容与原有认知结构存在潜在的适合性，有利于知识的迁移和建模。但学生对分类归纳的数学方法和数学思想尚未形成，抽象逻辑思维能力还未得到很好的发展，需要在教师的引导下逐步培养。（3）教学目标知识与技能：1、认识和理解质数、合数的意义，并能根据它们的意义正确地判断质数和合数。2、理解质因数的概念,，明确质数和合数的关系，会用短除法分解质因数。会把一个合数分解成几个质数连乘积的形式。 过程与方法：在解决问题的过程中，能进行有条理的思考，对收集的信息进行对比，归纳。情感、态度和价值观：在研究质数和合数的过程中丰富学生对数学的认识，感受数学文化的魅力，能主动地参与到数学学习中来。（4） 重点、难点重点：理解和掌握质数、合数的意义，认识质因数的概念。难点：会把一个合数分解成几个质数连乘积的形式。（5）教法、学法教法：引导探究法和课件演示法。在课堂中，通过引导学生找因数和分一分，认识质数和合数。并通过演示，让学生明白怎样用短除法来分解质因数。学法：小组合作探究法和归纳总结法。通过小组合作探究，在分一分的基础上，认识质数和合数。并归纳出质数和合数的意义及分解质因数的方法。（6）说教学过程1.初步感知本节采用让学生完成一道数学应用题，让学生在解决问题的过程中，发现问题，就是有一个数学概念没有学习，所以这道题没有办法解决，就是不知道什么是质数，由此使学生明白学习质数的必要性，从而激发起学生的学习兴趣。顺利地引入课题。2.探索发现在本节教学中，主要分三个层次，循序渐进地进行教学，首先让学生找因数，明确一个数的因数的个数是有限的，并引导学生理解每一个数不同，它们的因数的个数是不同的，并让学生初步对这些数按因数的个数的不同进行分类。第二步，在教学中，通过让学生按因数的个数的进行分类，把这些数分成了3类，在此基础上，教师讲解什么是质数，什么是合数，以及1的分类问题。让学生在对比概念的基础上熟悉和记忆，最后引入让学生对一个合数进行分解质因数的教学，在这里注意引导学生可以用两种方法来把一个合数分解成几个质数连乘积的形式，一种是分析法，还有一种就是短除法，而对于短除法，学生没有接触过，这里教师一定要做要讲解和示范引领。还有最后一点，就是强调这里的因数必须是质数，并不包含1。3. 巩固应用而对于数学的学习来说，最重要的是应用，所以在学生掌握了所有的概念后，设置了几道有针对性的练习，让学生在练习的过程，明确概念并懂得如何运用这些概念，解决生活中的实际问题，同时也开拓了学生的数学思维。4.归纳总结最后在教师的问题引领下，在师生的共同努力下，把整节课的内容，有条理的总结出来，使学生对知识有一个系统的把握，同时也让学生明确学习后要总结的必要性。这是一个良好的学习习惯。 5.说板书3.合数、质数1的因数只有1； 2的因数有1，2； 4的因数有1，2，4；9的因数有1，3，9； 11的因数有1，11； 12的因数有1，2，3，4，6，12；15的因数有1，3，5，15；29的因数有1，29。 2，11，29 只有1和它本身两个因数的数，叫做质数。4，9，12，15 除了1和它本身外还有其它的因数的数，叫做合数。1 1既不是质数，也不是合数。42=237用短除法来分解质因数。最后的板书，是对整节课知识重点的突出体现，是知识形成过程的一种记忆。首先板书的是找因数的结果，而这是后面分类和进行质数，合数概念教学的关键。接着是引导分类，即只有两个因数的数，有三个或三个以上因数的，还中就是1。从而得出质数，合数及既不是质数也不是合数的1的三个概念。目标明确，对学生理清学习的思路有很大的帮助。（4） 资料链接质数又称素数素数指的是一个只能被1和它本身整除的数，它是一个在数论中占重要研究地位的数，是一个数学皇冠上占一个重要位置的数。 素数有多少：高斯猜测，n以内的素数个数大约与n/lnn相当，或者说，当n很大时，两者数量级相同。这就是著名的素数定理。 目前发现的最大的素数：18世纪发现的最大素数是231-1，19世纪发现的最大素数是2127-1，20世纪末人类已知的最大素数是2859433-1，用十进制表示，这是一个258715位的数字。 与素数有关的著名猜想有： 歌德巴赫猜想：大于2的所有偶数均是两个素数的和，大于5的所有奇数均是三个素数之和。其中第二个猜想是第一个的自然推论，因此歌德巴赫猜想又被称为1+1问题。我国数学家陈景润证明了1+2，即所有大于2的偶数都是一个素数和只有两个素数因数的合数的和。国际上称为陈氏定理。