2019年湖南省郴州市中考数学试卷一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分）1（3分）如图，数轴上表示2的相反数的点是（）AMBNCPDQ2（3分）如图是我国几家银行的标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）ABCD3（3分）邓小平曾说：“中东有石油，中国有稀土”稀土是加工制造国防、军工等工业品不可或缺的原料据有关统计数据表明：至2017年止，我国已探明稀土储量约4400万吨，居世界第一位，请用科学记数法表示 44 000 000为（）A44106B4.4107C4.4108D0.441094（3分）下列运算正确的是（）A（ x2）3x5B+Cxx2x4x6D5（3分）一元二次方程2x2+3x50的根的情况为（）A有两个相等的实数根B有两个不相等的实数根C只有一个实数根D没有实数根6（3分）下列采用的调查方式中，合适的是（）A为了解东江湖的水质情况，采用抽样调查的方式B我市某企业为了解所生产的产品的合格率，采用普查的方式C某小型企业给在职员工做工作服前进行尺寸大小的调查，采用抽样调查的方式D某市教育部门为了解该市中小学生的视力情况，采用普查的方式7（3分）如图，分别以线段AB的两端点A，B为圆心，大于AB长为半径画弧，在线段AB的两侧分别交于点E，F，作直线EF交AB于点O在直线EF上任取一点P（不与O重合），连接PA，PB，则下列结论不一定成立的是（）APAPBBOAOBCOPOFDPOAB8（3分）我国古代数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的三角形，如图所示，已知A90，BD4，CF6，则正方形ADOF的边长是（）AB2CD4二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）9（3分）二次根式中，x的取值范围是 10（3分）若，则 11（3分）如图，直线a，b被直线c，d所截若ab，1130，230，则3的度数为 度12（3分）某校举行演讲比赛，七个评委对小明的打分如下：9，8，7，6，9，9，7，这组数据的中位数是 13（3分）某商店今年6月初销售纯净水的数量如下表所示：日期1234数量（瓶）120125130135观察此表，利用所学函数知识预测今年6月7日该商店销售纯净水的数量约为 瓶14（3分）如图是甲、乙两人6次投篮测试（每次投篮10个）成绩的统计图，甲、乙两人测试成绩的方差分别记作s甲2、s乙2，则s甲2 s乙2（填“”，“”或“”）15（3分）已知某几何体的三视图如图，其中主视图和左视图都是腰长为5，底边长为4的等腰三角形，则该几何体的侧面展开图的面积是 （结果保留）16（3分）如图，点A，C分别是正比例函数yx的图象与反比例函数y的图象的交点，过A点作ADx轴于点D，过C点作CBx轴于点B，则四边形ABCD的面积为 三、解答题（1719题每题6分，2023题每题8分，2425题每题10分，26题12分，共82分）17（6分）计算：（3）02cos30+|1|+（）118（6分）先化简，再求值：，其中a19（6分）如图，ABCD中，点E是边AD的中点，连接CE并延长交BA的延长线于点F，连接AC，DF求证：四边形ACDF是平行四边形20（8分）我市去年成功举办2018郴州国际休闲旅游文化节，获评“全国森林旅游示范市”我市有A，B，C，D，E五个景区很受游客喜爱一旅行社对某小区居民在暑假期间去以上五个景区旅游（只选一个景区）的意向做了一次随机调查统计，并根据这个统计结果制作了如下两幅不完整的统计图：（1）该小区居民在这次随机调查中被调查到的人数是 人，m ，并补全条形统计图；（2）若该小区有居民1200人，试估计去B地旅游的居民约有多少人？（3）小军同学已去过E地旅游，暑假期间计划与父母从A，B，C，D四个景区中，任选两个去旅游，求选到A，C两个景区的概率（要求画树状图或列表求概率）21（8分）如图所示，巡逻船在A处测得灯塔C在北偏东45方向上，距离A处30km在灯塔C的正南方向B处有一渔船发出求救信号，巡逻船接到指示后立即前往施救已知B处在A处的北偏东60方向上，这时巡逻船与渔船的距离是多少？（精确到0.01km参考数据：1.414，1.732，2.449）22（8分）某小微企业为加快产业转型升级步伐，引进一批A，B两种型号的机器已知一台A型机器比一台B型机器每小时多加工2个零件，且一台A型机器加工80个零件与一台B型机器加工60个零件所用时间相等（1）每台A，B两种型号的机器每小时分别加工多少个零件？（2）如果该企业计划安排A，B两种型号的机器共10台一起加工一批该零件，为了如期完成任务，要求两种机器每小时加工的零件不少于72件，同时为了保障机器的正常运转，两种机器每小时加工的零件不能超过76件，那么A，B两种型号的机器可以各安排多少台？23（8分）如图，已知AB是O的直径，CD与O相切于点D，且ADOC（1）求证：BC是O的切线；（2）延长CO交O于点 E若CEB30，O的半径为2，求的长（结果保留）24（10分）若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数下面我们参照学习函数的过程与方法，探究分段函数y的图象与性质列表：x3210123y121012描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点，如图所示（1）如图，在平面直角坐标系中，观察描出的这些点的分布，作出函数图象；（2）研究函数并结合图象与表格，回答下列问题：点A（5，y1），B（，y2），C（x1，），D（x2，6）在函数图象上，则y1 y2，x1 x2；（填“”，“”或“”）当函数值y2时，求自变量x的值；在直线x1的右侧的函数图象上有两个不同的点P（x3，y3），Q（x4，y4），且y3y4，求x3+x4的值；若直线ya与函数图象有三个不同的交点，求a的取值范围25（10分）如图1，矩形ABCD中，点E为AB边上的动点（不与A，B重合），把ADE沿DE翻折，点A的对应点为A1，延长EA1交直线DC于点F，再把BEF折叠，使点B的对应点B1落在EF上，折痕EH交直线BC于点H（1）求证：A1DEB1EH；（2）如图2，直线MN是矩形ABCD的对称轴，若点A1恰好落在直线MN上，试判断DEF的形状，并说明理由；（3）如图3，在（2）的条件下，点G为DEF内一点，且DGF150，试探究DG，EG，FG的数量关系26（12分）已知抛物线yax2+bx+3与x轴分别交于A（3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点 C（1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标；（2）点F是线段AD上一个动点如图1，设k，当k为何值时，CFAD？如图2，以A，F，O为顶点的三角形是否与ABC相似？若相似，求出点F的坐标；若不相似，请说明理由2019年湖南省郴州市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分）1（3分）如图，数轴上表示2的相反数的点是（）AMBNCPDQ【考点】13：数轴；14：相反数菁优网版权所有【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案【解答】解：2的相反数是2，故选：D【点评】本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数2（3分）如图是我国几家银行的标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）ABCD【考点】P3：轴对称图形；R5：中心对称图形菁优网版权所有【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解【解答】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误故选：C【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合3（3分）邓小平曾说：“中东有石油，中国有稀土”稀土是加工制造国防、军工等工业品不可或缺的原料据有关统计数据表明：至2017年止，我国已探明稀土储量约4400万吨，居世界第一位，请用科学记数法表示 44 000 000为（）A44106B4.4107C4.4108D0.44109【考点】1I：科学记数法表示较大的数菁优网版权所有【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a10n，其中1|a|10，n为整数，据此判断即可【解答】解：将 44 000 000用科学记数法可表示为4.4107故选：B【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为a10n的形式，其中1|a|10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值4（3分）下列运算正确的是（）A（ x2）3x5B+Cxx2x4x6D【考点】46：同底数幂的乘法；47：幂的乘方与积的乘方；79：二次根式的混合运算菁优网版权所有【分析】根据幂的乘方法则判断A；先把化为最简二次根式，再合并同类二次根式，即可判断B；根据同底数幂的乘法法则判断C；根据二次根式的除法法则判断D【解答】解：A、（ x2）3x6，故本选项错误；B、+23，故本选项错误；C、xx2x4x7，故本选项错误；D、，故本选项正确；故选：D【点评】本题考查了二次根式的运算，整式的运算，掌握同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则、以及二次根式的除法法则是解题的关键5（3分）一元二次方程2x2+3x50的根的情况为（）A有两个相等的实数根B有两个不相等的实数根C只有一个实数根D没有实数根【考点】AA：根的判别式菁优网版权所有【分析】求出的值即可判断【解答】解：一元二次方程2x23x+50中，32429（5）0，有两个不相等的实数根故选：B【点评】本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1）0方程有两个不相等的实数根；（2）0方程有两个相等的实数根；（3）0方程没有实数根6（3分）下列采用的调查方式中，合适的是（）A为了解东江湖的水质情况，采用抽样调查的方式B我市某企业为了解所生产的产品的合格率，采用普查的方式C某小型企业给在职员工做工作服前进行尺寸大小的调查，采用抽样调查的方式D某市教育部门为了解该市中小学生的视力情况，采用普查的方式【考点】V2：全面调查与抽样调查菁优网版权所有【分析】根据两种不同的调查方式的优缺点分别判断即可【解答】解：A、为了解东江湖的水质情况，采用抽样调查的方式，合适；B、我市某企业为了解所生产的产品的合格率，因调查范围广，工作量大采用普查的方式不合适；C、某小型企业给在职员工做工作服前进行尺寸大小的调查，因调查范围小采用抽样调查的方式不合适；D、某市教育部门为了解该市中小学生的视力情况，因调查范围广，采用普查的方式不合适，故选：A【点评】本题考查了全面调查与抽样调查的知识，解题的关键是能够了解两种调查方式的优缺点，难度不大7（3分）如图，分别以线段AB的两端点A，B为圆心，大于AB长为半径画弧，在线段AB的两侧分别交于点E，F，作直线EF交AB于点O在直线EF上任取一点P（不与O重合），连接PA，PB，则下列结论不一定成立的是（）APAPBBOAOBCOPOFDPOAB【考点】KG：线段垂直平分线的性质；N2：作图基本作图菁优网版权所有【分析】依据分别以线段AB的两端点A，B为圆心，大于AB长为半径画弧，在线段AB的两侧分别交于点E，F，作直线EF交AB于点O，即可得到EF垂直平分AB，进而得出结论【解答】解：由作图可知，EF垂直平分AB，PAPB，故A选项正确；OAOB，故B选项正确；OEOF，故C选项错误；POAB，故D选项正确；故选：C【点评】本题考查基本作图、线段垂直平分线的性质，解题的关键是掌握线段垂直平分线的作法，利用线段垂直平分线上的点到两个端点的距离相等解决问题8（3分）我国古代数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的三角形，如图所示，已知A90，BD4，CF6，则正方形ADOF的边长是（）AB2CD4【考点】1O：数学常识；KQ：勾股定理；LE：正方形的性质菁优网版权所有【分析】设正方形ADOF的边长为x，在直角三角形ACB中，利用勾股定理可建立关于x的方程，解方程即可【解答】解：设正方形ADOF的边长为x，由题意得：BEBD4，CECF6，BCBE+CEBD+CF10，在RtABC中，AC2+AB2BC2，即（6+x）2+（x+4）2102，整理得，x2+10x240，解得：x2，或x12（舍去），x2，即正方形ADOF的边长是2；故选：B【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质、一元二次方程的解法、勾股定理等知识；熟练掌握正方形的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）9（3分）二次根式中，x的取值范围是x2【考点】72：二次根式有意义的条件菁优网版权所有【分析】二次根式的被开方数是非负数，即x20【解答】解：根据题意，得x20，解得，x2；故答案是：x2【点评】考查了二次根式的意义和性质概念：式子（a0）叫二次根式性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义10（3分）若，则【考点】S1：比例的性质菁优网版权所有【分析】直接利用已知将原式变形进而得出x，y之间的关系进而得出答案【解答】解：，2x+2y3x，故2yx，则故答案为：【点评】此题主要考查了比例的性质，正确将原式变形是解题关键11（3分）如图，直线a，b被直线c，d所截若ab，1130，230，则3的度数为100度【考点】JA：平行线的性质菁优网版权所有【分析】直接利用平行线的性质结合三角形外角的性质得出答案【解答】解：ab，34，12+42+3，1130，230，13030+3，解得：3100故答案为：100【点评】此题主要考查了平行线的性质以及三角形的外角，正确应用平行线的性质是解题关键12（3分）某校举行演讲比赛，七个评委对小明的打分如下：9，8，7，6，9，9，7，这组数据的中位数是8【考点】W4：中位数菁优网版权所有【分析】根据中位数计算：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数【解答】解：把这组数据按照从小到大的顺序排列为：6，7，7，8，9，9，9，故这组数据的中位数是8故答案为：8【点评】本题考查了中位数的定义，解题的关键是牢记定义，此题比较简单，易于掌握13（3分）某商店今年6月初销售纯净水的数量如下表所示：日期1234数量（瓶）120125130135观察此表，利用所学函数知识预测今年6月7日该商店销售纯净水的数量约为150瓶【考点】FH：一次函数的应用菁优网版权所有【分析】这是一个一次函数模型，设ykx+b，利用待定系数法即可解决问题，【解答】解：这是一个一次函数模型，设ykx+b，则有，解得，y5x+115，当x7时，y150，预测今年6月7日该商店销售纯净水的数量约为150瓶，故答案为150【点评】本题考查一次函数的性质，解题的关键是学会构建一次函数解决问题，属于中考常考题型14（3分）如图是甲、乙两人6次投篮测试（每次投篮10个）成绩的统计图，甲、乙两人测试成绩的方差分别记作s甲2、s乙2，则s甲2s乙2（填“”，“”或“”）【考点】VD：折线统计图；W7：方差菁优网版权所有【分析】根据数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定，方差越大；数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定，方差越小进行判断【解答】解：由图象可知：乙偏离平均数大，甲偏离平均数小，所以乙波动大，不稳定，方差大，即S甲2S乙2故答案为：【点评】本题考查方差的意义方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定15（3分）已知某几何体的三视图如图，其中主视图和左视图都是腰长为5，底边长为4的等腰三角形，则该几何体的侧面展开图的面积是10（结果保留）【考点】I4：几何体的表面积；I6：几何体的展开图；U3：由三视图判断几何体菁优网版权所有【分析】由三视图可知，该几何体是圆锥，根据圆锥是侧面积公式计算即可【解答】解：由三视图可知，该几何体是圆锥，侧面展开图的面积2510，故答案为10【点评】本题考查三视图，圆锥等知识，解题的关键是记住圆锥的侧面积公式16（3分）如图，点A，C分别是正比例函数yx的图象与反比例函数y的图象的交点，过A点作ADx轴于点D，过C点作CBx轴于点B，则四边形ABCD的面积为8【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题菁优网版权所有【分析】由反比例函数的对称性可知OAOC，OBOD，则SAOBSBOCSDOCSAOD，再根据反比例函数k的几何意义可求得这四个三角形的面积，可求得答案【解答】解：A、C是两函数图象的交点，A、C关于原点对称，CDx轴，ABx轴，OAOC，OBOD，SAOBSBOCSDOCSAOD，又反比例函数y的图象上，SAOBSBOCSDOCSAOD42，S四边形ABCD4SAOB428，故答案为：8【点评】本题主要考查反比例函数的对称性和k的几何意义，根据条件得出OAOC，OBOD是解题的关键，注意k的几何意义的应用三、解答题（1719题每题6分，2023题每题8分，2425题每题10分，26题12分，共82分）17（6分）计算：（3）02cos30+|1|+（）1【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂；T5：特殊角的三角函数值菁优网版权所有【分析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，绝对值的代数意义，以及特殊角的三角函数值计算即可求出值【解答】解：原式12+1+22【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键18（6分）先化简，再求值：，其中a【考点】6D：分式的化简求值菁优网版权所有【分析】根据分式的减法可以化简题目中的式子，然后将a的值代入化简后的式子即可解答本题【解答】解：，当a时，原式1【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法19（6分）如图，ABCD中，点E是边AD的中点，连接CE并延长交BA的延长线于点F，连接AC，DF求证：四边形ACDF是平行四边形【考点】KD：全等三角形的判定与性质；L7：平行四边形的判定与性质菁优网版权所有【分析】利用平行四边形的性质，即可判定FAECDE，即可得到CDFA，再根据CDAF，即可得出四边形ACDF是平行四边形；【解答】解：四边形ABCD是平行四边形，ABCD，FAECDE，E是AD的中点，AEDE，又FEACED，FAECDE（ASA），CDFA，又CDAF，四边形ACDF是平行四边形【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质定理是解题的关键20（8分）我市去年成功举办2018郴州国际休闲旅游文化节，获评“全国森林旅游示范市”我市有A，B，C，D，E五个景区很受游客喜爱一旅行社对某小区居民在暑假期间去以上五个景区旅游（只选一个景区）的意向做了一次随机调查统计，并根据这个统计结果制作了如下两幅不完整的统计图：（1）该小区居民在这次随机调查中被调查到的人数是200人，m35，并补全条形统计图；（2）若该小区有居民1200人，试估计去B地旅游的居民约有多少人？（3）小军同学已去过E地旅游，暑假期间计划与父母从A，B，C，D四个景区中，任选两个去旅游，求选到A，C两个景区的概率（要求画树状图或列表求概率）【考点】V5：用样本估计总体；VB：扇形统计图；VC：条形统计图；X6：列表法与树状图法菁优网版权所有【分析】（1）先由D景区人数及其所占百分比求出总人数，再根据百分比的概念和各景区人数之和等于总人数求解可得；（2）利用样本估计总体思想求解可得；（3）画树状图得出所有等可能结果，从中找到选到A，C两个景区的结果数，再根据概率公式计算可得【解答】解：（1）该小区居民在这次随机调查中被调查到的人数是2010%200（人），则m%100%35%，即m35，C景区人数为200（20+70+20+50）40（人），补全条形图如下：故答案为：200，35；（2）估计去B地旅游的居民约有120035%420（人）；（3）画树状图如下：由树状图知，共有12种等可能结果，其中选到A，C两个景区的有2种结果，所以选到A，C两个景区的概率为【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率以及扇形与条形统计图的知识注意掌握扇形统计图与条形统计图的对应关系用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比21（8分）如图所示，巡逻船在A处测得灯塔C在北偏东45方向上，距离A处30km在灯塔C的正南方向B处有一渔船发出求救信号，巡逻船接到指示后立即前往施救已知B处在A处的北偏东60方向上，这时巡逻船与渔船的距离是多少？（精确到0.01km参考数据：1.414，1.732，2.449）【考点】TB：解直角三角形的应用方向角问题菁优网版权所有【分析】延长CB交过A点的正东方向于D，则CDA90，由题意得：AC30km，CAD45，BAD30，由直角三角形的性质得出ADCDAC15，ADBD，BD5，由勾股定理即可得出答案【解答】解：延长CB交过A点的正东方向于D，如图所示：则CDA90，由题意得：AC30km，CAD904545，BAD906030，ADCDAC15，ADBD，BD5，AB10102.44924.49（km）；答：巡逻船与渔船的距离约为24.49km【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据题目中所给方向角构造直角三角形，然后利用三角函数的知识求解，难度适中22（8分）某小微企业为加快产业转型升级步伐，引进一批A，B两种型号的机器已知一台A型机器比一台B型机器每小时多加工2个零件，且一台A型机器加工80个零件与一台B型机器加工60个零件所用时间相等（1）每台A，B两种型号的机器每小时分别加工多少个零件？（2）如果该企业计划安排A，B两种型号的机器共10台一起加工一批该零件，为了如期完成任务，要求两种机器每小时加工的零件不少于72件，同时为了保障机器的正常运转，两种机器每小时加工的零件不能超过76件，那么A，B两种型号的机器可以各安排多少台？【考点】B7：分式方程的应用；CE：一元一次不等式组的应用菁优网版权所有【分析】（1）设每台B型机器每小时加工x个零件，则每台A型机器每小时加工（x+2）个零件，根据工作时间工作总量工作效率结合一台A型机器加工80个零件与一台B型机器加工60个零件所用时间相等，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）设A型机器安排m台，则B型机器安排（10m）台，根据每小时加工零件的总量8A型机器的数量+6B型机器的数量结合每小时加工的零件不少于72件且不能超过76件，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为正整数即可得出各安排方案【解答】解：（1）设每台B型机器每小时加工x个零件，则每台A型机器每小时加工（x+2）个零件，依题意，得：，解得：x6，经检验，x6是原方程的解，且符合题意，x+28答：每台A型机器每小时加工8个零件，每台B型机器每小时加工6个零件（2）设A型机器安排m台，则B型机器安排（10m）台，依题意，得：，解得：6m8m为正整数，m6，7，8答：共有三种安排方案，方案一：A型机器安排6台，B型机器安排4台；方案二：A型机器安排7台，B型机器安排3台；方案三：A型机器安排8台，B型机器安排2台【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组23（8分）如图，已知AB是O的直径，CD与O相切于点D，且ADOC（1）求证：BC是O的切线；（2）延长CO交O于点 E若CEB30，O的半径为2，求的长（结果保留）【考点】M5：圆周角定理；ME：切线的判定与性质；MN：弧长的计算菁优网版权所有【分析】（1）根据切线的性质和平行线的性质从而证得CODCOB，得到ODCOBC90，即可证得结论；（2）根据圆周角定理得到BOD120，然后根据弧长公式求得即可【解答】（1）证明：连接OD，CD与O相切于点D，ODC90，ODOA，OADODA，ADOC，COBOAD，CODODA，COBCOD，在COD和COB中，CODCOB（SAS），ODCOBC90，BC是O的切线；（2）解：CEB30，COB60，COBCOD，BOD120，的长：【点评】本题考查了切线的判定和性质，平行线的性质，圆周角定理以及三角形全等的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键24（10分）若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数下面我们参照学习函数的过程与方法，探究分段函数y的图象与性质列表：x3210123y121012描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点，如图所示（1）如图，在平面直角坐标系中，观察描出的这些点的分布，作出函数图象；（2）研究函数并结合图象与表格，回答下列问题：点A（5，y1），B（，y2），C（x1，），D（x2，6）在函数图象上，则y1y2，x1x2；（填“”，“”或“”）当函数值y2时，求自变量x的值；在直线x1的右侧的函数图象上有两个不同的点P（x3，y3），Q（x4，y4），且y3y4，求x3+x4的值；若直线ya与函数图象有三个不同的交点，求a的取值范围【考点】E9：分段函数；F3：一次函数的图象；F5：一次函数的性质；G2：反比例函数的图象；G4：反比例函数的性质菁优网版权所有【分析】（1）描点连线即可；（2）A与B在y上，y随x的增大而增大，所以y1y2；C与D在y|x1|上，观察图象可得x1x2；当y2时，2|x1|，则有x3或x1；由图可知1x3时，点关于x1对称，当y3y4时x3+x42；由图象可知，0a2；【解答】解：（1）如图所示：（2）A（5，y1），B（，y2），A与B在y上，y随x的增大而增大，y1y2；C（x1，），D（x2，6），C与D在y|x1|上，观察图象可得x1x2；故答案为，；当y2时，x1时，有2，x1；当y2时，x1时，有2|x1|，x3或x1（舍去），故x1或x3；P（x3，y3），Q（x4，y4）在x1的右侧，1x3时，点P，Q关于x1对称，则有y3y4，x3+x42；由图象可知，0a2；【点评】本题考查反比例函数的图象及性质，一次函数的图象及性质；能够通过描点准确的画出函数图象是解题的关键25（10分）如图1，矩形ABCD中，点E为AB边上的动点（不与A，B重合），把ADE沿DE翻折，点A的对应点为A1，延长EA1交直线DC于点F，再把BEF折叠，使点B的对应点B1落在EF上，折痕EH交直线BC于点H（1）求证：A1DEB1EH；（2）如图2，直线MN是矩形ABCD的对称轴，若点A1恰好落在直线MN上，试判断DEF的形状，并说明理由；（3）如图3，在（2）的条件下，点G为DEF内一点，且DGF150，试探究DG，EG，FG的数量关系【考点】SO：相似形综合题菁优网版权所有【分析】（1）由折叠图形的性质可得DA1EEB1H90，DEA1+HEB190从而可得DEA1EHB1，依据两个角对应相等的三角形相似可得A1DEB1EH；（2）由A1恰好落在直线MN上可知A1在EF的中点，由SAS易证A1DEA1DF，即可得ADEEDA1FDA130，（3）将DGE逆时针旋转60到DGF位置，由旋转的旋转将DG，EG，FG集中到GGF中结合DGF150，可得GGF为直角三角形，由勾股定理可得GG2+GF2GF2，即可证明DG2+GF2GE2，【解答】解：（1）证明：由折叠的性质可知：DAEDA1E90，EBHEB1H90，AEDA1ED，BEHB1EH，DEA1+HEB190又HEB1+EHB190，DEA1EHB1，A1DEB1EH；（2）结论：DEF是等边三角形；理由如下：直线MN是矩形ABCD的对称轴，点A1是EF的中点，即A1EA1F，在A1DE和A1DF中，A1DEA1DF（SAS），DEDF，FDA1EDA1，又ADEA1DE，ADF90ADEEDA1FDA130，EDF60，DEF是等边三角形；（3）DG，EG，FG的数量关系是DG2+GF2GE2，理由如下：由（2）可知DEF是等边三角形；将DGE逆时针旋转60到DGF位置，如解图（1），GFGE，DGDG，GDG60，DGG是等边三角形，GGDG，DGG60，DGF150，GGF90，GG2+GF2GF2，DG2+GF2GE2，【点评】本题考查翻折变换、相似三角形证明、全等三角形的判定和性质、勾股定理矩形的性质等知识，解（3）题的关键是灵活运用旋转得全等三角形，构造RtGGF26（12分）已知抛物线yax2+bx+3与x轴分别交于A（3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点 C（1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标；（2）点F是线段AD上一个动点如图1，设k，当k为何值时，CFAD？如图2，以A，F，O为顶点的三角形是否与ABC相似？若相似，求出点F的坐标；若不相似，请说明理由【考点】HF：二次函数综合题菁优网版权所有【分析】（1）将A、B两点的坐标代入二次函数解析式，用待定系数法即求出抛物线对应的函数表达式，可求得顶点D（1，4）；（2）由A、C、D三点的坐标求出AC3，DC，AD2，可得ACD为直角三角形，若CF，则点F为AD的中点，可求出k的值；由条件可判断DACOBC，则OAFACB，若以A，F，O为顶点的三角形与ABC相似，可分两种情况考虑：当AOFABC或AOFCAB45时，可分别求出点F的坐标【解答】解：（1）抛物线yax2+bx+3过点A（3，0），B（1，0），解得：，抛物线解析式为yx22x+3；yx22x+3（x+1）2+4顶点D的坐标为（1，4）；（2）在RtAOC中，OA3，OC3，AC2OA2+OC218，D（1，4），C（0，3），A（3，0），CD212+122AD222+4220AC2+CD2AD2ACD为直角三角形，且ACD90，F为AD的中点