第1课时 二次函数的图象与性质教学目标【知识与技能】1.会用描点法画函数的图象，并根据图象认识、理解和掌握其性质2.体会数形结合的转化，能用的图象和性质解决简单的实际问题【过程与方法】经历探索二次函数图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数的经验，培养观察、思考、归纳的良好思维习惯【情感态度】通过动手画图，同学之间交流讨论，达到对二次函数图象和性质的真正理解，从而产生对数学的兴趣，调动学生的积极性【教学重点】1.会画的图象2.理解，掌握图象的性质【教学难点】二次函数图象及性质探究过程和方法的体会教学过程教学过程一、情境导入，初步认识问题1 请同学们回忆一下一次函数的图象、反比例函数的图象的特征是什么?二次函数的图象是什么形状呢?问题2 如何用描点法画一个函数图象呢?【教学说明】 略；列表、描点、连线二、思考探究，获取新知探究1 画二次函数的图象【教学说明】要求同学们动手，按“列表、描点、连线”的步骤画图y=x2的图象，同学们画好后相互交流、展示，表扬画得比较规范的同学从列表和描点中，体会图象关于y轴对称的特征强调画抛物线的三个误区误区一：用直线连结，而非光滑的曲线连结，不符合函数的变化规律和发展趋势如图(1)就是y=x2的图象的错误画法误区二：并非对称点，存在漏点现象，导致抛物线变形图(2)就是漏掉点(0，0)的y=x2的图象的错误画法误区三：忽视自变量的取值范围，抛物线要求用平滑曲线连点的同时，还需要向两旁无限延伸，而并非到某些点停止如图(3)，就是到点(-2，4)，(2，4)停住的y=x2图象的错误画法探究2 图象的性质在同一坐标系中，画出y=x2， ，y=2x2的图象【教学说明】要求同学们独立完成图象，教师帮助引导，强调画图时注意每一个函数图象的对称性动脑筋观察上述图象的特征(共同点)，从而归纳二次函数的图象和性质【教学说明】教师引导学生观察图象，从开口方向，对称轴，顶点，y随x的增大时的变化情况等几个方面让学生归纳，教师整理讲评、强调图象的性质1.图象开口向上2.对称轴是y轴，顶点是坐标原点，函数有最低点3.当x0时，y随x的增大而增大，简称右升；当x0时，y随x的增大而减小，简称左降三、典例精析，掌握新知例 已知函数是关于x的二次函数(1)求k的值(2)k为何值时，抛物线有最低点，最低点是什么？在此前提下，当x在哪个范围内取值时，y随x的增大而增大？【分析】此题是考查二次函数y=ax2的定义、图象与性质的，由二次函数定义列出关于k的方程，进而求出k的值，然后根据k+20，求出k的取值范围，最后由y随x的增大而增大，求出x的取值范围解：(1)由已知得 ，解得k=2或k=-3所以当k=2或k=-3时，函数是关于x的二次函数(2)若抛物线有最低点，则抛物线开口向上，所以k+20由（1）知k=2，最低点是（0，0)，当x0时，y随x的增大而增大四、运用新知，深化理解1.（广东广州中考）下列函数，当x0时，y值随x值增大而减小的是（ ）Ay=x2 By=x-1 C D2.已知点（-1，y1)，(2，y2)，(-3，y3)都在函数y=x2的图象上，则（ ）Ay1y2y3 By1y3y2 Cy3y2y1 Dy2y1y33.抛物线y=x2的开口向 ，顶点坐标为 ，对称轴为 ，当x=-2时，y= ；当y=3时，x= ，当x0时，y随x的增大而 ；当x0时，y随x的增大而 4.如图，抛物线y=ax2上的点B，C与x轴上的点A（-5，0），D（3，0）构成平行四边形ABCD，BC与y轴交于点E（0，6），求常数a的值【教学说明】学生自主完成，加深对新知识的理解和掌握，当学生疑惑时，教师及时指导【答案】1D 2A 3上，(0，0)，y轴， ，3，减小，增大4解：依题意得：BC=AD=8，BCx轴，且抛物线y=ax2上的点B，C关于y轴对称，又BC与y轴交于点E（0，6），B点为（-4，6），C点为（4，6），将（4，6）代入y=ax2得：a=五、师生互动，课堂小结1.师生共同回顾二次函数图象的画法及其性质2.通过这节课的学习，你掌握了哪些新知识，还有哪些疑问?请与同伴交流课后作业教材练习第1、2题教学反思本节课是从学生画y=x2的图象，从而掌握二次函数图象的画法，再由图象观察、探究二次函数的性质，培养学生动手、动脑、探究归纳问题的能力第2课时 二次函数的图象与性质教学目标【知识与技能】1.会用描点法画函数的图象，并根据图象认识、理解和掌握其性质2.体会数形结合的转化，能用的图象与性质解决简单的实际问题【过程与方法】经历探索二次函数图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数的经验，培养观察、思考、归纳的良好思维习惯【情感态度】通过动手画图，同学之间交流讨论，达到对二次函数y=ax2(a0)图象和性质的真正理解，从而产生对数学的兴趣，调动学习的积极性【教学重点】会画的图象；理解、掌握图象的性质【教学难点】二次函数图象的性质及其探究过程和方法的体会教学过程一、情境导入，初步认识1.在坐标系中画出y=x2的图象，结合y=x2的图象，谈谈二次函数y=ax2(a0)的图象具有哪些性质？2.你能画出y=x2的图象吗？二、思考探究，获取新知探究1 画的图象请同学们在上述坐标系中用“列表、描点、连线”的方法画出y=x2的图象【教学说明】教师要求学生独立完成，强调画图过程中应注意的问题，同学们完成后相互交流，表扬图象画得“美观”的同学问：从所画出的图象进行观察，y=x2与y=x2有何关系？归纳：y=x2与y=x2二者图象形状完全相同，只是开口方向不同，两图象关于y轴对称(教师引导学生从理论上进行证明这一结论)探究2 二次函数性质问：你能结合y=x2的图象，归纳出图象的性质吗？【教学说明】教师提示应从开口方向，对称轴，顶点位置，y随x的增大时的变化情况几个方面归纳，教师整理，强调图象的性质1.开口向下2.对称轴是y轴，顶点是坐标原点，函数有最高点3.当x0时，y随x的增大而减小，简称右降，当x0时，y随x的增大而增大，简称左升探究3 二次函数的图象及性质学生回答：【教学点评】一般地，抛物线y=ax2的对称轴是 ，顶点是 ，当a0时抛物线的开口向 ，顶点是抛物线的最 点，a越大，抛物线开口越 ；当a0时，抛物线的开口向 ，顶点是抛物线的最 点，a越大，抛物线开口越 ，总之，|a|越大，抛物线开口越 答案：y轴，（0，0），上，低，小，下，高，大，小三、典例精析，掌握新知例1 填空：函数的图象是 ，顶点坐标是 ，对称轴是 ，开口方向是 函数y=x2，y=x2和y=的图象如图所示，请指出三条抛物线的解析式解：抛物线，（0，0），y轴，向上；根据抛物线y=ax2中，a的值的作用来判断，上面最外面的抛物线为y=x2，中间为y=x2，在x轴下方的为y=【教学说明】解析式需化为一般式，再根据图象特征解答，避免发生错误抛物线y=ax2中，当a0时，开口向上；当a0时，开口向下，|a|越大，开口越小例2 已知抛物线y=ax2经过点（1，-1），求y=-4时x的值【分析】把点(1，-1)的坐标代入y=ax2，求得a的值，得到二次函数的表达式，再把y=-4代入已求得的表达式中，即可求得x的值解：点（1，-1）在抛物线y=ax2上，-1=a12，a=-1，抛物线为y=-x2当y=-4时，有-4=-x2，x=2【教学说明】在求y=ax2的解析式时，往往只须一个条件代入即可求出a值四、运用新知，深化理解1.下列关于抛物线y=x2和y=-x2的说法，错误的是（ ）A抛物线y=x2和y=-x2有共同的顶点和对称轴B抛物线y=x2和y=-x2关于x轴对称C抛物线y=x2和y=-x2的开口方向相反D点（-2，4）在抛物线y=x2上，也在抛物线y=-x2上2.二次函数y=ax2与一次函数y=-ax(a0)在同一坐标系中的图象大致是（ ）3.二次函数，当x0时，y随x的增大而减小，则m= 4.已知点A（-1，y1)，B(1，y2)，C(a，y3)都在函数y=x2的图象上，且a1，则y1，y2，y3中最大的是 5.已知函数y=ax2经过点(1，2)求a的值；当x0时，y的值随x值的增大而变化的情况【教学说明】学生自主完成，加深对新知识的理解和掌握，当学生疑惑时，教师及时指导【答案】1D 2B 32 4y3 5a=2 当x0时，y随x的增大而减小五、师生互动，课堂小结这节课你学到了什么，还有哪些疑惑？在学生回答的基础上，教师点评：（1）图象的性质；（2）y=ax2(a0)关系式的确定方法课后作业教材练习第12题教学反思本节课仍然是从学生画图象，结合上节课y=ax2(a0)的图象和性质，从而得出的图象和性质，进而得出y=ax2（a0)的图象和性质，培养学生动手、动脑、合作探究的学习习惯第3课时 二次函数的图象与性质教学目标【知识与技能】1.能够画出的图象，并能够理解它与y=ax2的图象的关系，理解a，h对二次函数图象的影响2.能正确说出的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标【过程与方法】经历探索二次函数的图象的作法和性质的过程，进一步领会数形结合的思想【情感态度】1.在小组活动中体会合作与交流的重要性2.进一步丰富数学学习的成功体验，认识到数学是解决实际问题的重要工具，初步形成积极参与数学活动的意识【教学重点】掌握的图象及性质【教学难点】理解与y=ax2图象之间的位置关系，理解a，h对二次函数图象的影响教学过程一、情境导入，初步认识1.在同一坐标系中画出y=x2与y=(x-1)2的图象，完成下表2.二次函数y=(x-1)2的图象与y=x2的图象有什么关系？3.对于二次函数(x-1)2，当x取何值时，y的值随x值的增大而增大？当x取何值时，y的值随x值的增大而减小?二、思考探究，获取新知归纳二次函数的图象与性质并完成下表 三、典例精析，掌握新知例1 教材例3【教学说明】二次函数y=ax2与y=a(x-h)2是有关系的，即左、右平移时“左加右减” 例如y=ax2向左平移1个单位得到y=a(x+1)2，y=ax2向右平移2个单位得到y=a(x-2)2的图象例2 已知直线y=x+1与x轴交于点A，抛物线y=-2x2平移后的顶点与点A重合水平移后的抛物线l的解析式；若点B（x1，y1)，C(x2，y2)在抛物线l上，且x1x2，试比较y1，y2的大小解：y=x+1，令y=0，则x=-1，A（-1，0)，即抛物线l的顶点坐标为（-1，0），又抛物线l是由抛物线y=-2x2平移得到的，抛物线l的解析式为y=-2(x+1)2由可知，抛物线l的对称轴为x=-1，a=-20，当x-1时，y随x的增大而减小，又x1x2，y1y2【教学说明】二次函数的增减性以对称轴为分界，画图象取点时以顶点为分界对称取点四、运用新知，深化理解1.二次函数y=15(x-1)2的最小值是（ ）A-1 B1 C0 D没有最小值2.抛物线y=-3(x+1)2不经过的象限是（ ）A第一、二象限 B第二、四象限 C第三、四象限 D第二、三象限3.在反比例函数y=中，当x0时，y随x的增大而增大，则二次函数y=k(x-1)2的图象大致是（ ）4.（1）抛物线y=x2向 平移 个单位得抛物线y=(x+1)2；(2)抛物线 向右平移2个单位得抛物线y=-2(x-2)25.已知抛物线y=a(x-h)2的对称轴为x=-2，且过点（1，-3）(1)求抛物线的解析式；(2)画出函数的大致图象；(3)从图象上观察，当x取何值时，y随x的增大而增大？当x取何值时，函数有最大值（或最小值）？【教学说明】学生自主完成，教师巡视解疑【答案】1C 2A 3B 4(1)左，1 (2)y=-2x25解：(1)y=(x+2)2 (2)略 （3）当x-2时，y随x增大而增大；当x=-2时，y有最大值0五、师生互动，课堂小结1.这节课你学到了什么?还有哪些疑惑?2.在学生回答的基础上，教师点评：(1)y=a(x-h)2的图象与性质；（2）y=a(x-h)2与y=ax2的图象的关系课后作业教材练习第1、2题教学反思通过本节学习使学生认识到y=a(x-h)2的图象是由y=ax2的图象左右平移得到的，初步认识到a，h对y=a(x-h)2位置的影响，a的符号决定抛物线方向，|a|决定抛物线开口的大小，h决定向左右平移；从中领会数形结合的数学思想第4课时 二次函数的图象与性质教学目标【知识与技能】1.会用描点法画二次函数的图象掌握的图象和性质2.掌握与y=ax2的图象的位置关系3.理解，及的图象之间的平移转化【过程与方法】经历探索二次函数的图象的作法和性质的过程，进一步领会数形结合的思想，培养观察、分析、总结的能力【情感态度】1.在小组活动中进一步体会合作与交流的重要性2.体验数学活动中充满着探索性，感受通过认识观察，归纳，类比可以获得数学猜想的乐趣【教学重点】二次函数的图象与性质【教学难点】由二次函数的图象的轴对称性列表、描点、连线教学过程一、情境导入，初步认识复习回顾：同学们回顾一下： ，（a0)的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标，y随x的增减性分别是什么？ 如何由 (a0)的图象平移得到的图象？猜想二次函数的图象开口方向、对称轴、顶点坐标及y随x的增减性如何？二、思考探究，获取新知探究1 的图象和性质1.由老师提示列表，根据抛物线的轴对称性观察图象回答下列问题：y=(x+1)2-1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标及y随x的增减性如何？ 将抛物线y=x2向左平移1个单位，再向下平移1个单位得抛物线y=(x+1)2-12.同学们讨论回答：一般地，当h0，k0时，把抛物线向右平移h个单位，再向上平移k个单位得抛物线；平移的方向和距离由h，k的值来决定抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标及y随x的增减性如何？探究2 二次函数的应用【教学说明】二次函数的图象是 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，当a0时，开口向 ，当a0时，开口向 答案：抛物线，直线x=h，(h，k)，上，下三、典例精析，掌握新知例1 已知抛物线，将它沿x轴向右平移3个单位后，又沿y轴向下平移2个单位，得到抛物线的解析式为y=(x+1)2-4，求原抛物线的解析式 【分析】平移过程中，前后抛物线的形状，大小不变，所以a=，平移时应抓住顶点的变化，根据平移规律可求出原抛物线顶点，从而得到原抛物线的解析式 解：抛物线y=(x+1)2-4的顶点坐标为（-1，-4)，它是由原抛物线向右平移3个单位，向下平移2个单位而得到的，所以把现在的顶点向相反方向移动就得到原抛物线顶点坐标为（-4，-2)故原抛物线的解析式为y=(x+4)2-2【教学说明】抛物线平移不改变形状及大小，所以a值不变，平移时抓住关键点：顶点的变化例2教材例4：画二次函数的图像。解：对称轴是直线，顶点坐标为，列表：-10123-3-2.5-11.55描点和连线：画出图像在对称轴右边的部分，利用对称性，画出图像在对称轴左边的部分，这样就得到了的图像，如上图。【教学说明】二次函数的画图：（1）画出对称轴，描出顶点。（2）简单列表。（3）利用对称性画出整个图形。四、运用新知，深化理解1若抛物线y=-7(x+4)2-1平移得到y=-7x2，则必须（ ）A先向左平移4个单位，再向下平移1个单位B先向右平移4个单位，再向上平移1个单位C先向左平移1个单位，再向下平移4个单位D先向右平移1个单位，再向上平移4个单位2.抛物线y=x2-4与x轴交于B，C两点，顶点为A，则ABC的周长为（ ）A4 B4+4 C12 D2+43.函数y=ax2-a与y=ax-a(a0)在同一坐标系中的图象可能是（ ）4.二次函数y=-2x2+6的图象的对称轴是 ，顶点坐标是 ，当x 时，y随x的增大而增大5.已知函数y=ax2+c的图象与函数y=-3x2-2的图象关于x轴对称，则a= ，c= 6.把抛物线y=(x-1)2沿y轴向上或向下平移，所得抛物线经过Q（3，0），求平移后抛物线的解析式【教学说明】学生自主完成，加深对新知的理解，教师引导解疑【答案】1B 2B 3C 4y轴，（0，6），0 53，2 6y=(x-1)2-4五、师生互动，课堂小结1.这节课你学到了什么，还有哪些疑惑？2.在学生回答的基础上，教师点评：二次函数的图象与性质；如何由抛物线平移得到抛物线【教学说明】教师应引导学生自主小结，加深理解掌握与二者图象的位置关系课后作业教材练习第13题教学反思掌握函数，图象的变化关系，从而体会由简单到复杂的认识规律第5课时 二次函数的图象与性质教学目标【知识与技能】1.会用描点法画二次函数的图象2.会用配方法求抛物线的顶点坐标、开口方向、对称轴、y随x的增减性3.能通过配方法求出二次函数(a0)的最大或最小值；能利用二次函数的性质求实际问题中的最大值或最小值【过程与方法】1.经历探索二次函数(a0)的图象的作法和性质的过程，体会建立二次函数(a0)对称轴和顶点坐标公式的必要性2.在学习(a0)的性质的过程中，渗透转化（化归）的思想【情感态度】进一步体会由特殊到一般的化归思想，形成积极参与数学活动的意识【教学重点】用配方法求(a0)的顶点坐标；会用描点法画(a0)的图象并能说出图象的性质【教学难点】能利用二次函数(a0)的对称轴和顶点坐标公式，解决一些问题，能通过对称性画出二次函数(a0)的图象 教学过程一、情境导入，初步认识请同学们完成下列问题1.把二次函数y=-2x2+6x-1化成y=a(x-h)2+k的形式2.写出二次函数y=-2x2+6x-1的开口方向，对称轴及顶点坐标3.画y=-2x2+6x-1的图象4.抛物线y=-2x2如何平移得到y= -2x2+6x-1的图象5.二次函数y=-2x2+6x-1的y随x的增减性如何？【教学说明】上述问题教师应放手引导学生逐一完成，从而领会与的转化过程二、思考探究，获取新知探究1 如何画图象，你可以归纳为哪几步？学生回答、教师点评：一般分为三步：1.先用配方法求出的对称轴和顶点坐标2.列表，描点，连线画出对称轴右边的部分图象3.利用对称点，画出对称轴左边的部分图象探究2 二次函数图象的性质有哪些？你能试着归纳吗？学生回答，教师点评：抛物线，对称轴为，顶点坐标为()，当a0时，若，y随x增大而增大，若，y随x的增大而减小；当a0时，若，y随x的增大而减小，若，y随x的增大而增大探究3 二次函数在什么情况下有最大值，什么情况下有最小值，如何确定？学生回答，教师点评：三、典例精析，掌握新知例1 将下列二次函数写成顶点式y=a(x-h)2+k的形式，并写出其开口方向，顶点坐标，对称轴y=x2-3x+21 y=-3x2-18x-22解：y=x2-3x+21=(x2-12x)+21=(x2-12x+36-36)+21=(x-6)2+12此抛物线的开口向上，顶点坐标为（6，12），对称轴是x=6y=-3x2-18x-22= -3(x2+6x)-22=-3(x2+6x+9-9)-22=-3(x+3)2+5此抛物线的开口向下，顶点坐标为（-3，5)，对称轴是x=-3【教学说明】第小题注意h值的符号，配方法是数学的一个重要方法，需多加练习，熟练掌握；抛物线的顶点坐标也可以根据公式直接求解例2 用总长为60m的篱笆围成的矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化，l是多少时，场地的面积S最大？S与l有何函数关系？S举一例说明S随l的变化而变化? 怎样求S的最大值呢?L解：S=l (30-l)=- l2+30l (0l30)=-( l2-30l)=-( l-15)2+225画出此函数的图象，如图l=15时，场地的面积S最大（S的最大值为225)【教学说明】二次函数在几何方面的应用特别广泛，要注意自变量的取值范围的确定，同时所画的函数图象只能是抛物线的一部分四、运用新知，深化理解1.抛物线y=x2-6x+5的顶点坐标为（ ）A(3，-4) B(3，4) C(-3，-4) D(-3，4)2.已知二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象如图所示，当-5x0时，下列说法正确的是（ ）A有最小值5、最大值0B有最小值-3、最大值6C有最小值0、最大值6D有最小值2、最大值63.如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上，图象经过点（-1，2）和（1，0），且与y轴相交于负半轴(1)给出四个结论：a0；b0；c0；a+b+c=0其中正确结论的序号是 (2)给出四个结论：abc0；2a+b0；a+c=1；a1其中正确结论的序号是 【教学说明】通过练习，巩固掌握的图象和性质【答案】1A 2B 3(1) (2)五、师生互动，课堂小结1.这节课你学到了什么？还有哪些疑惑？2.在学生回答的基础上，教师点评：（1）用配方法求二次的顶点坐标、对称轴；（2）由的图象判断与a，b，c有关代数式的值的正负；（3）实际问题中自变量取值范围及函数最值课后作业教材练习第13题教学反思的图象和性质可以看作是y=ax2，y=a(x-h)2+k，y=a(x-h)2+k的图象和性质的归纳与综合，让学生初步体会由简单到复杂，由特殊到一般的认识规律