北师大版数学八年级上册第六章数据的分析第4节数据的离散程度（第一课时）教学设计数学核心素养发展的基本要点学生数学核心素养在本节课发展的基本要点主要有：科学精神中的批判质疑、勇于探究和实践创新中的问题解决等。课标要求体会刻画数据离散程度的意义，会计算简单数据的方差。学情分析 知识基础：学生已经初步感受了抽样调查的必要性，学习了描述数据集中趋势的统计量：平均数、众数、中位数，具有一定的统计学知识基础。认知分析：八年级上期的学生具有一定的观察问题、分析问题的能力，能够通过观察散点图直观发现数据在离散程度上的差异，提出问题质疑，具有进行小组合作探究的经验。学习目标1.知识与技能： 了解刻画数据离散程度的三个量极差、方差和标准差，能借助计算器求出一组数据的标准差。2.过程与方法： 经历探索表示数据离散程度的过程，体会刻画数据离散程度的意义；经历用方差刻画数据离散程度的过程，发展数据分析观念。3.情感、态度与价值观：在探究过程中体会数学与生活的联系，感受探究的乐趣，在创新发现中获得良好的情感体验。重点及突出方法重点：经历用方差刻画数据离散程度的过程，了解刻画数据离散程度的三个量极差、方差和标准差。重点突出方法：在分析三名同学射击成绩的具体情境中，借助直观观察、计算和小组探究交流突出学习重点。难点及突破方法难点：抽象出刻画数据离散程度的统计量方差。难点突破方法：经历“极差、各个数据与平均数差的和、各个数据与平均数差的绝对值的和、各个数据与平均数差的平方的平均数”的探究过程，深刻理解刻画数据离散程度的意义和方差的概念。学法指导观察分析和小组合作探究教学过程架构教学过程一、问题质疑旧知再现：平均数、众数、中位数都是描述数据集中趋势的统计量。创设情境：射击是深受青少年欢迎的体育运动。某中学射击爱好者社团甲、乙两名同学在相同条件下各射击8次，每次命中的环数如下：甲同学：6，4，8，10，4，10，5，9乙同学：6，8， 7，9，7，5， 8，6（1）你能从图中估计出甲、乙两同学射击的平均成绩吗？（2）请计算甲、乙两同学射击的平均成绩，并在图中画出纵坐标等于平均成绩的直线。问题质疑：通过实际情境及其图示，让学生直观观察甲、乙两同学射击成绩的差异（离散程度不同）。因为甲、乙两同学射击成绩的平均值相同，所以得出判断：仅依靠集中趋势还难以准确刻画一组数据。引出问题质疑：如何刻画一组数据的离散程度？本环节设计目的：使学生回顾相关知识，为进一步进行数据分析做好铺垫；同时，通过直观观察和平均数计算，使学生产生思维碰撞：相同的平均值与不同的离散程度，产生问题质疑，激发探究热情。效果评测：原有知识无法解决当前问题，这是学生自主探究的起点，进一步培养了学生的问题意识和勇于质疑的精神。课堂上借助地质学家李四光的话：“不怀疑不能见真理”，使学生信心百倍地走进下一环节自主探究。二、自主探究（1）探究1：极差分别计算甲、乙两同学射击成绩最大值与最小值的差。甲：10-4=6，乙：9-5=4。一组数据中最大数据与最小数据的差叫极差，极差就是刻画数据离散程度的一个统计量。（2）探究2：各个数据与平均数的差的和如果学校射击社团中丙同学也参加了测试，乙、丙两同学的射击成绩如图所示。易知乙、丙两同学的平均成绩相等（均为7环），极差相等（均为4环），但从统计图上看，两人成绩的离散程度还是有区别的（乙同学的成绩更稳定一些）。采用什么方式来刻画这种差别呢？经小组讨论，有同学尝试计算各个数据与平均数的差的和：乙：（6-7）+（8-7）+（7-7）+（9-7）+（7-7）+（5-7）+（8-7）+（6-7）=0丙：（7-7）+（6-7）+（9-7）+（5-7）+（9-7）+（5-7）+（8-7）+（7-7）=0两组数据中各个数据与平均数的差的总和都等于0.为什么会出现这种情况呢？差有正值，有负值，出现正负抵消的情况。由此，同学们得出：“各个数据与平均数的差的和”不一定能够刻画数据的离散程度。“探究2”失败！（3）探究3：各个数据与平均数差的绝对值的和如何避免正负抵消呢？经过小组讨论，借助计算，有小组提出：运用“绝对值”可以避免正负抵消，因为任何实数的绝对值都是非负的。乙：|6-7|+|8-7|+|7-7|+|9-7|+|7-7|+|5-7|+|8-7|+|6-7|=8丙：|7-7|+|6-7|+|9-7|+|5-7|+|9-7|+|5-7|+|8-7|+|7-7|=10乙的计算结果小于丙的计算结果，与直观观察得到的“乙同学射击成绩的离散程度小”是相符的。因此，同学们一致得出结论：“各个数据与平均数差的绝对值的和”可以刻画一组数据的离散程度，为下一个探究中推翻此结论做铺垫。（4）探究4：各个数据与平均数差的平方的平均数AB这里有两组数据，A组：11,13,7,9,12,8；B组：10,13,7,13,7,10大家来共同研究A、B两组数据的离散程度，直观观察那一组数据离散程度小一些？A组。A、B两组数据的平均值都是10，我们来计算各个数据与平均数的差的绝对值的和：A:|11-10|+|13-10|+|7-10|+|9-10|+|12-10|+|8-10|=12B:|10-10|+|13-10|+|7-10|+|13-10|+|7-10|+|10-10|=12两组数据中各个数据与平均数的差的绝对值的和均为12，在这个问题中，“各个数据与平均数的差的绝对值的和”无法刻画数据的离散程度。从而推翻了探究3的结论！ 探究再次陷入困境，引导学生一步步分析：为什么取绝对值？避免正负抵消。避免正负抵消的办法只有一种吗？有小组提出采用平方的方法，即计算“各个数据与平均数差的平方的平均数”：因为，所以A组数据更稳定，离散程度更小。从而探究出“各个数据与平均数差的平方的平均数”可以刻画一组数据的离散程度。本环节设计目的：通过具体的问题情境设计，环环相扣，步步探索，在矛盾中前进，在质疑中求真。既提升了学生勇于发现问题、提出问题的能力，又进一步培养了积极探索、敢于创新的科学精神。效果评测：先是通过极差，然后计算各个数据与平均数差的总和，出现正负抵消，又计算各个数据与平均数差的绝对值总和，最后我们想到了平方，完美解决了问题。在经历探究方差概念的过程中，学生不仅感受了刻画数据离散程度的意义，同时学生体会了探究数学问题的一般思路。三、创新发现请大家将我们自主探究出来的解决方案总结一下。为了描述数据的离散程度，我们经过自主探究，找到了属于我们自己的创新发现：通过“各个数据与平均数差的平方的平均数，即方差”来刻画一组数据的离散程度。标准差s是方差的算术平方根。一般而言，一组数据的极差、方差或标准差越小，这组数据就越稳定。本环节设计目的：创新精神是学生核心素养发展的重要元素，本环节引导学生及时总结自己的探究成果，使学生进一步领悟探究的意义，感受创新发现的良好情感体验。 效果评测：学生经过问题质疑、自主探究，创新发现了“如何刻画数据离散程度”的方法，体会到创新并不困难，提升学好数学的信心。四、问题解决回到本节课开始我们提出的问题质疑：如何评价射击社团甲、乙、丙三位同学的射击成绩呢？让我们用本节知识来解决问题！（小组内分别计算）本环节设计目的：前后呼应，加深理解。本环节的设计既让学生体会到数学与生活的联系（数学来源于生活，又作用于生活），同时在解决问题的过程中培养了实践创新的数学核心素养。 效果评测：通过小组内计算、讨论，学生运用本节的创新发现解决了问题。五、归纳提升从两个方面进行归纳总结：知识方面和探究的一般过程方面。本节课我们不仅学习了刻画数据离散程度的三个统计量：极差、方差、标准差，更重要的是我们经历了发现问题、解决数学问题的一般过程：问题质疑、自主探究、创新发现、问题解决、归纳提升、拓广延伸。本环节设计目的：小结的目的是进行归纳和提升，引导学生既进行知识梳理，又进一步经历用方差刻画数据离散程度的过程，体会解决数学问题的一般思路。 效果评测：引导学生像放电影一样进行回顾，及时对知识巩固、对思想方法提升六、拓广延伸（1）探索使用计算器求标准差的操作步骤。为了提高农副产品的国际竞争力，一些行业协会对农副产品的规格进行了划分.某外贸公司要出口一批规格为75g的鸡腿，现有2个厂家提供货源，它们的价格相同，鸡腿的品质也相近.质检员分别从甲、乙两厂的产品中抽样调查了10只鸡腿，它们的质量（单位：g）如下：甲厂：75,77,72,78,73,74,76,75,77,73；乙厂：77,79,73,72,71,77,78,75,73,75.如果只考虑鸡腿的规格，你认为外贸公司应买哪个厂的鸡腿？使用计算器可以很方便地计算一组数据的标准差，其大体步骤是：进入统计状态，输入数据，按键得出标准差。计算器一般不具有求方差的功能，可以先求出标准差，再平方即可求出方差。（2）课外延伸：习题6.5 第1,2题小组合作: 应用本节知识，解决一个关于“数据的离散程度”的生活实际问题，并完成相应的研究报告本环节设计目的：从课内延伸到课外，让学生在实际问题的解决过程中，探索计算器求标准差的具体操作步骤，更为全面地理解方差及其在现实生活中的应用，并在小组合作中培养团队协作能力。效果评测： 学生运用本节所学知识并借助计算器能够较顺利地解决问题，通过小组分工协作完成课外延伸作业。板书设计4 数据的离散程度课后反思与点评1本节课在实际问题情境中，引出问题质疑，激发学生一步一步探究，在质疑中前行，从而探索出刻画数据离散程度的统计量极差、方差、标准差。2注重借助直观观察激发学生的思维，并通过小组合作学习，充分研讨，广泛交流，扩大学生思维视角，实现共同进步