第四单元 分数的意义和性质【例1】一根绳子第一次剪去，第二次剪去米，两次减去的绳子相比（）A第一次长 B第二次长 C同样长 D三种情况都有可能解析：本题考查的知识点是用分数表示数量和分率时的比较与区别。解答时，先将这根绳子当作单位“1”，第一次剪去，则还剩1-=，即无论第二次剪去多长，都不如第一次剪去的多。解答此题的关键是利用剪去的与剩下的占全部的分率进行比较即可，也就是说，第二次剪去的米数为多余条件。解答：A【例2】图中阴影部分的面积占整个图形面积的（）A B C D 解析：本题考查的知识点是利用数学的“数形结合思想”和“份数法”来解答分数问题。从图中读出把单位“1”平均分成了7份，前面的4份中取了2份，后面的阴影部分是把剩下的3个小长方形平分，即后面的阴影部分是1.5份，这样阴影部分一共是3.5份，3.5份是7份的一半。所以选A。解答时，搞清楚把单位“1”（大长方形）平均分成几份，取了几份是关键。解答：A【例3】用分数表示阴影部分。解析：本题考查的知识点是利用数学结合思想和“拼组法”解答看图写分数问题。解答时，阴影部分不是标准的规则图形，需要用“拼组法”把它转化为规则三角形来解答，也就是说可以把图中空白梯形换成涂色梯形，这样可以得出阴影部分占整个长方形的一半；或者把空吧三角形换成阴影三角形，也可以得出同样的结论。解答：【例4】化简一个分数时，分子、分母同时除以2次3，分子、分母又同时除以一次4得，这个分数化简前是多少？解析：本题考查的知识点是用“还原法”或“逆推法”来解答分数的约分问题。解答时，先从最简分数开始思考，让的分子和分母分别乘约分的1次4和2次3，就可以求出化简前的分数。解答：=【例5】一个分数，分母比分子大15，它的分数值是，这个分数是多少？解析：本题考查的知识点是用“抓不变量”的方法，利用份数知识解答分数问题。解答时，先求出分子和分母的份数差8-3=5，然后用数量差15除以份数差15（8-3）=3就是一份量；接着用还原法或逆推法计算出原来分数的值：=解答：15（8-3）=3 =答：这个分数是。【例6】食品店运来一些面包，如果每2个装一袋、每3个装一袋、每5个装一袋，都能正好装完 ，这些面包至少有多少个?解析：本题考查的知识点是2、3、5的倍数的特征和求2、3、5的最小公倍数。解答时，可以直接求出2、3、5三个数的最小公倍数，这个最小公倍数就是面包的最少个数。解答：2、3、5的最小公倍数是30，所以这些面包至少有30个。【例7】a、b是相邻的两个偶数（a、b均不为0），a和b的最大公因数是（）。A ab B 2 C a+b D ab2解析：本题考查的知识点是用“简单枚举法”来归纳、概括两个相邻非0偶数的最大公因数。因为a、b是两个相邻的非零偶数，即两数相差2，如：2和4，它们的最大公因数是2；4和6，它们的最大公因数是2；再如10和12的最大公因数还是2，所以a、b的最大公因数是2。【例8】求12和18的最大公因数和最小公倍数。解析：本题考查的知识点是求最大公因数和最小公倍数的方法。求最大公因数和最小公倍数的方法有列举法、短除法、分解质因数法、筛选法等。一般情况下，两个数较小时，用列举法就可以很快求出最大公因数和最小公倍数；而两个数较大时，用短除法比较简单。用短除法求最大公因数时，只需把所有的除数相乘；而求最小公倍数时，需要把除数和商都相乘。当两个数只有公因数1时，直接就可得出最大公因数和最小公倍数，最大公因数是1，最小公倍数是这两个数的积；当两个数成倍数关系时，最大公因数就是较小的数，最小公倍数就是较大的数。显然12和18不属于这两种情况，可以用上面介绍的方法求出答案。解答：方法一筛选法。(1)12的因数有1，2，3，4，6，12。12的因数中是18的因数的有1，2，3，6。12和18的最大公因数是6。(2)18的倍数有18，36，54，72，18的倍数中是12的倍数的有36，72，12和18的最小公倍数是36。方法二列举法。(1)12和18的最大公因数是6。(2)12和18的最小公倍数是36。方法三分解质因数法。12=223 18=23312和18的最大公因数：236；最小公倍数：232336。方法四短除法。6 12 182 3 12和18的最大公因数：6；最小公倍数：62336。【例9】大雪后的一天，佳美和爸爸从同一点出发沿同一方向分别步测一个圆形花圃的周长。佳美每步长约72厘米，爸爸每步长约90厘米，由于两个人的脚印有重合，所以雪地上只留下80个脚印。请问：这个花圃的周长约多少米？解析：本题考查的知识点是利用“枚举法”求两个数的最小公倍数解决问题。解答时，先求出72和90的最小公倍数是360，也就是说他们俩每走360厘米就有一个脚印重合。因为：佳美走一步是72厘米，二步是144厘米，三步是216厘米，四步是288厘米，五步是360厘米。爸爸走一步是90厘米，二步是180厘米，三步是270厘米，四步是360厘米。他们两每走360厘米就有8个脚印。解答：360（808）=3600（厘米）=36米答：这个花圃的周长是36米。【例10】分数的分子和分母同时加上一个数后，约分得，分子和分母同时加上的数是多少？解析：本题考查的知识点是利用抓不变量的方法解答分数的约分问题。分数的分子和分母同时加上一个相同的数，说明分子和分母的差不变，还是13-5=8；又由于新分数约分后是，则现在的分子和分母的差从8到1，可以知道分子和分母都缩小到了原来的，也就是将的分子和分母同时扩大到原来的8倍，分子和分母的差才是8，这样，的分子和分母同时扩大到原来的8倍是，8-5=3,16-13=3，所以同时加上的数是3。解答：（13-5）（2-1）-5=3答：时加上的这个数是3。【例11】在下图的方框中填上适当的数，直线的上面填假分数，直线的下面填带分数。解析：本题考查的知识点是利用对应法和数形结合思想解答填写直线上的数问题。解答时，明确线段图中每一小格代表多少、单位“1”被平均分成了多少份，要填写的方框中的数在哪两个整数之间是解答此类问题的关键，最后根据上面的判断再填写出正确的结果。解答：【例12】把0.29、0.3、和按照从小到大的顺序排列。解析：本题考查的知识点有利用数学的转化思想把分数化成小数从而比较数的大小。解答时，先把分数化成小数，然后通过比较小数的大小，再比较出原来给出的数的大小。解答：0.29=0.29 0.3=0.3 0.2857、=0.25、0.33因为：0.250.28570.290.30.33所以，0.290.3【例13】填一填。（1）（2）解析：本题考查的知识点根据分数的基本性质，利用数学的转化思想来解答分数变形问题。（1）根据分数的基本性质和分数与除法的关系来进行填空。填空时注意，抓住分数的值不变这一基本条件，变化的是分数的分子和分母。（2）先通分，把和化成和，这两个分数之间写不出分母是10的分数，接着根据分数的基本性质，把和转化为分母是20的分数为和，这两个分数之间只能写出分母是20的一个分数是；要求写出两个，继续根据分数的基本性质，转化为分母是30的分数为和，这样可以写出两个分母是30的分数，分别为 和解答：（1）4 36 9 16 96 3（2） 【例14】一个分数（a和b都是自然数），已知5a9, 1b3,这个分数可能是哪些分数？解析：本题考查的知识点有分类讨论思想和组合法。解答时，先分情况看分母可能取哪些整数，再看分子肯能取哪些整数，最后再确定这个分数是多少。因为a和b都是自然数，且5a9，所以分母可能是6、7或8,分子只能是2，分数可能是、或。解答：这个分数可能是、或。【例15】一瓶水，亮亮喝了一半，妈妈喝了剩下的一半，他们喝的同样多吗？解析：本题考查的知识点是不同的单位“1”的。解答时为了区分和比较亮亮喝的一半和妈妈喝的一半的不同，可以采取图示法来理解（如下图）。解答：亮亮喝的多。【例16】比较和的大小解析：本题考查的知识点是异分母分数的大小比较，解答时可以用通分的方法比较分数的大小；还可以结合分数与的大小比较（找中间数比较的方法）、以及化成分子相同的数的方法来比较分数的大小。解答：方法提示：通分的方法方法一：因为，= =，所以。方法提示：找中间数的方法方法二：因为， 所以，方法提示：化成相同的分子的方法方法三：因为，= =，所以